Güney Doğu Londra'dan gelen Elijah, oyunculuğa ilk olarak 14 yaşında hobi olarak başladı ve Catford Broadway'deki Lewisham Gençlik Tiyatrosu'na gitmeye başladı. Oyunculuk Elijah için bir hobi olarak kaldı, ta ki birkaç yıl sonra The Old Vic tiyatrosunun üyeleri, İmparatorluk Savaş Müzesi ile ortaklaşa hazırladıkları bir oyun için açık seçmeler yapmak üzere Elijah'ın ortaokuluna gelene kadar. Gavin Birch tarafından yazılan ve Matt Wild tarafından yönetilen 'On The Middle Day', Kevin Spacey tarafından desteklenen, 1. Dünya Savaşı'nda İngiliz ordusuna katılan ve Somme Savaşı'nda savaşan genç erkekler hakkında bir oyundu.Elijah, 'Archibald Cotton'ın yardımcı başrolünü kazandı ve oyun büyük bir başarı elde ederek, 2007 Milli Piyango Ödülleri'nde Elijah'ın oyuncular ve ekip adına kabul etmek üzere seçildiği En İyi Miras ödülünü kazandı.Baker daha sonra Sylvia Young'ın akşam derslerine katılmaya devam etti ve bu okulda Baker'ı kızlarının ajansına tavsiye eden kurucusu 'Sylvia Young'la tanıştı. Baker kısa süre sonra 'The Bill' dizisinin bir bölümünde konuk oyuncu olarak ilk rolünü aldı. Baker, The Bill'in ardından 'Silent witness', 'The Sarah Jane adventures' , 'Doctors, 'Injustice' ve 'Phone Shop' gibi diğer tanınmış dizilerde de rol aldı.Baker kısa süre önce Buff Film Festivali tarafından 'Signs Of Silence' filmindeki performansıyla en iyi erkek yetenek ödülüne layık görüldü. Son dönemde rol aldığı filmler arasında 'Tango One', 'Acceptable Damage', 'Dishoom' ve 'Ethel' yer alıyor.