İstanbul Üniversitesi Tiyatro Bölümü'nden mezun olan Mehmet Özgür, sanat hayatına 1988 yılında Antalya'da bir dil kursunda katıldığı tiyatro etkinliği ile başladı ve ertesi yıl Antalya Halkevi'nde tiyatro çalışmalarına ağırlık verdi. Daha sonra 1993 yılında Antalya Devlet Tiyatrosu'nda görev alan sanatçı, ilk kez 2004 yılında kamera karşısına geçti ve bir TV dizisinde rol aldı. 2008-2011 yılları arasında yayınlanan Kollama dizisindeki Necip Yılmaz rolüyle tanındı ve 2012 yılında yayınlanan Suskunlar dizisindeki "Takoz İrfan" rolüyle büyük ün kazandı. Ardından Muhteşem Yüzyıl, Çalıkuşu, Filinta gibi önemli dizilerde oynadı.Çeşitli dizi ve filmlerde rol alan Özgür, bazı tiyatro oyunlarını da yönetti.