Alexander, Audrey Hepbury tarafından 'My Fair Lady' filmiyle beyazperdeye taşınan Pygmalion adlı İngiliz oyununu yazan George Bernard Shaw'ın soyundan gelmektedir. Kardeşi Oliver Shaw (The Critic ve Disclaimer filmleriyle tanınır) olan Alexander, profesyonel kariyerine 7 yaşında The King's Man filminde Genç Conrad'ı oynamak üzere seçildiğinde başlayan İngiliz bir aktördür. Alexander, okulu aracılığıyla Oyuncu Direktörü Reg Poerscout-Edgerton tarafından bulundu. Alexander için, böylesine yetenekli bir oyuncu kadrosunun yanında Genç Conrad'ı oynamak, gerçek tarihi figürleri ve olayları içeren, kalbi olan epik bir aksiyon-macera filminin parçası olmak için heyecan verici bir fırsattı. Alexander ayrıca Sir Ridley Scott'ın epik filmi Napoleon'da Marie-Antionette'in oğlu rolünde de yer aldı.