1945'te Thompson ailesi Louisville'den ayrılarak Miami, Florida'ya yerleşti ve Ron burada ilk gençlik yıllarını geçirdi. 19 yaşındayken cebinde 200 dolarla oyunculuk kariyeri yapmak üzere New York'a gitti ve iki yıl içinde Armstrong Circle Theatre'da Robert Duvall ile birlikte canlı bir televizyon dizisinde rol aldı.